O paradoxo do aniversário é um problema padrão da estatística. Não é um paradoxo verdadeiro, mas o espanto que os resultados costumam causar fizeram com que o problema recebesse este apelido. Ele se baseia em duas perguntas:

• Quantas pessoas precisam estar numa sala para que a probabilidade de alguém fazer aniversário no mesmo dia que você seja maior do que 50%? A resposta é 253 pessoas.
• Quantas pessoas precisam estar numa sala para que a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia seja maior do que 50%? A resposta é 23 pessoas.

Se você está pensando que eu digitei o valor errado na resposta da segunda pergunta, enganou-se. São mesmo necessárias apenas 23 pessoas para que você tenha mais de 50% de chance de acertar ao afirmar que duas delas fazem aniversário no mesmo dia. Este é o aparente paradoxo! Para provar que os números estão corretos, basta fazer alguns cálculos estatísticos.

Seu companheiro de aniversário

Considerando que o ano tenha 365 dias (esqueça os anos bissextos e que há pessoas que nasceram no dia 29 de fevereiro ) e que o número de nascimentos esteja igualmente distribuído em todos os dias do ano, cada um dos presentes na sala tem apenas 364 chances em 365 de NÃO fazer aniversário no mesmo dia em que você. Isto representa 364 : 365 = 0.997260274, ou seja, aproximadamente 99.73%. Como o inverso é verdadeiro, e considerando apenas uma pessoa, a chance de que você e ela façam aniversário no mesmo dia é 1 - 0.997260274 = 0.002739726 ou cerca de 0.27%.

À medida que o número de pessoas consideradas aumenta, as chances se multiplicam. Se considerarmos duas pessoas, a probabilidade de que nenhuma delas faça aniversário no mesmo dia que você será (364/365) x (364/365) ou (364/365)² e que pelo menos uma dela faça aniversário junto com você será novamente o inverso 1 - (364/365)². Aumente este número para 3, 4, 5 pessoas e mais até encontrar uma probabilidade um cisco maior do que 0.50 ou 50%. A fórmula para calcular a probabilidade pode ser deduzida dos exemplos dados: será 1 menos (364/365) elevado ao número de pessoas consideradas. Se representarmos o número de pessoas por n obtemos

Vamos fazer os cálculos com 252 pessoas. O resultado será 1 - (364/365)²⁵² = 0.499104839 ou 49.91%. Faltou um pouquinho... Repetindo os cálculos com 253 pessoas, chegamos à gloriosa marca de 0.500477154, praticamente 50.05%. No gráfico abaixo, o eixo X mostra o número de pessoas e o eixo Y as probabilidades de ocorrência:

Probabilidade de alguém fazer aniversário no mesmo dia que você.

Um companheiro de aniversário

Imagine agora que, na sala onde devem entrar os candidatos a aniversário no mesmo dia, exista um enorme calendário com todos os dias do ano. Quando entra a primeira pessoa, ela marca no calendário o dia do seu aniversário. É claro que não existe ninguém para compartilhar o aniversário com ela, é só ela com ela mesma. Portanto, a chance de repetir o próprio aniversário é 1 ou 100%. A seguir, entra uma segunda pessoa na sala. A chance que ela tem de NÃO fazer aniversário no mesmo dia da primeira pessoa é de 364 em 365, ou seja, 364 : 365 = 0.997260274 (99.73%). Portanto, a multiplicação das chances de não fazer aniversário no mesmo dia é 1 x 0.997260274 = 0.997260274 e a chance de fazer aniversário no mesmo dia é de 1 - 0.997260274 = 0.002739726 (0.27%). Até aqui, não mudou nada do que vimos até agora. Acontece que, quando a terceira pessoa entrar na sala, a chance de marcar um dia que ainda não tenha sido escolhido será de 363 em 365, ou seja, 363 : 365 = 0.994520548 ou 99.45% e a multiplicação de chances será 1 x 0.997260274 x 0.994520548 = 0.991795834 (99.18%). Neste caso, a chance de repetir uma das datas será 1 - 0.991795834 = 0.008204166 ou 0.82%.

Os exemplos acima vão nos mostrando que as chances de não repetir aniversários vão diminuindo e que as chances de repetir aniversários vão aumentando. Se designarmos o número de pessoas com n, a chance dos aniversários não coincidirem será

e a chance multiplicada de que os aniversários não se repitam será

Para obter a chance de que um dos aniversários se repita, é preciso subtrair o resultado obtido com a última fórmula de 1:

Pois bem, quando n = 23, o resultado obtido é 0.507297234 ou 50.73%. O truque para achar o n é calcular as chances dos aniversários NÃO se repetirem e depois calcular o inverso.

Probabilidade do aniversário de duas pessoas ser no mesmo dia.