O presente texto demonstra como deduzir as expressões que permitem o cálculo de quadrantes planos para relógios de sol. De fato, as fórmulas deduzidas são gerais e servem também para relógios com gnômom equatorial. É necessário algum conhecimento sobre o tema pois não discuto aqui o funcionamento de um relógio de sol. Toda a dedução é baseada em uma única figura e somente trigonometria plana é utilizada. Por fim, primeiro demonstro o cálculo das linhas horárias e em seguida o cálculo das linhas de declinação.

Para começar, vamos examinar a figura abaixo.

Fig.1 - Equador Celeste, Zênite e Polo Celeste.

O semi-círculo maior representa a abóbada celeste vista por um observador externo. Existem três pontos importantes ao longo desse círculo: o equador celeste, o zênite e o pólo celeste. O centro desse círculo é o ponto de vista do observador na terra, onde está o gnômom do relógio (não representado na figura). R é o raio da esfera e as duas retas inclinadas para a esquerda representam as trajetórias aparentes do sol nos equinócios (sobre o equador) e no solstício quando o sol tem declinação D.

Linhas Horárias

Para calcular e traçar as linhas horárias vamos inicialmente considerar que quando o sol está no equinócio, ele descreve um semi-círculo sobre o equador (linha vermelha). Neste caso, um gnômom inclinado para o equador não projeta sombra no sentido norte/sul. A trajetória percorrida pela ponta da sombra do gnômom é uma reta. No quadrante horizontal essa reta está afastada do gnômom de g * tg L (altura do gnômom X tangente da Latitude). É sobre essa reta que encontraremos os pontos para traçar as linhas horárias com vértice na extremidade traseira do gnômom (fig 2).

Como a ponta da sombra descreve uma reta, para saber onde a sombra estará num determinado momento basta conhecer o ângulo horário e a altura do gnômom. A componente x da sombra é dada por:

     x = g * tg H

     onde g = altura do gnômom e H = ângulo horário (12 - hora)*15

Encontrados os pontos para cada hora, basta traçarmos retas do vértice passando por cada um desses pontos e teremos as linhas horárias (fig 2).

Fig.2 - Linhas horárias