Teoria da Comunicação de Sistemas Secretos
C. E. Shannon

A equivocação possui várias propriedades interessantes, a maioria das quais se encaixa na nossa figura intuitiva de como um valor deste tipo deveria se comportar. Primeiro vamos mostrar que a equivocação da chave ou de uma parte fixa da mensagem diminui quando mais material cifrado é interceptado.

TEOREMA 7

A qualificação relativa a A letras no segundo resultado do teorema é tal de modo que a equivocação será calculada de acordo com a quantidade de mensagem que foi interceptada. Se for, a equivocação da mensagem (isto usualmente ocorre) aumenta por um tempo devido meramente ao fato de que mais letras fornecem um espaço possível maior de mensagens. Os resultados do teorema são o que se poderia esperar de um bom índice de segredo porque dificilmente esperamos estar numa situação pior depois de interceptar material adicional. O fato de poderem ser provados é uma justificativa adicional para se usar a medida da equivocação.

Os resultados deste teorema são uma consequência de certas propriedades da entropia condicional provada na MTC. Portanto, para demonstrar a primeira ou a segunda declaração do Teorema 7, temos para qualquer chance os eventos A e B

H(B)> HA(B)

Se identificarmos B com a chave (conhecendo as primeiras S letras do criptograma) e A com as N - S letras restantes, obtemos o primeiro resultado. De forma semelhante, identificando B com a mensagem dá o segundo resultado. O último resultado deriva de

HE(M)<HE(K,M) = HE(K)+HE,K(M)

e do fato de que H_E,K(M) = 0 uma vez que K e E determinam uma M única.

Como a mensagem e a chave são escolhidas de forma independente, temos:

H(M,K) = H(M) + H(K)

Além disto

H(M,K) = H(E,K) = H(E) + HE(K)

sendo a primeira igualdade resultante do fato de que o conhecimento de M e K ou de E e K é equivalente ao conhecimento de todos os três. Combinando os dois obtemos a fórmula para a equivocação da chave:

HE(K) = H(M) + H(K) - H(E)

Em particular, se H(M) = H(E) então a equivocação da chave, H_E(K), é igual à incerteza a priori da chave, H(K). Isto ocorre em sistemas perfeitos descritos acima.

A fórmula para a equivocação da mensagem pode ser encontrada de forma parecida. Temos

H(M,E) = H(E) + HE(M) = H(M) + HM(E)

HE(M) = H(M) + HM(E) - H(E)

Se temos um sistema de produto S = TR, é de se esperar que o segundo processo de cifragem diminuirá a equivocação da mensagem. Que isto é realmente verdade pode ser demonstrado como a seguir: Deixe M, E₁, E₂ serem a mensagem e a primeira e segunda cifragens respectivamente. Então

PE1E2(M) = PE1(M)

Consequentemente

HE1E2(M) = HE1(M)

Como, para quaisquer variáveis de chance x, y, z, H_xy(z)<H_y(z), temos o resultado desejado, H_E2(M) > H_E1(M).

TEOREMA 8

Suponha agora que temos um sistema T que pode ser expresso como uma soma ponderada de vários sistemas R, S, ..., U

T = p1R + p2S + ... + pmU   Σpi = 1

e que os sistemas R, S, ..., U têm equivocações H₁, H₂, H₃, ..., H_m.

TEOREMA 9

O limite superior é obtido, por exemplo, em sistemas fortemente ideais (que serão descritos mais tarde) onde a decomposição é feita em transformações simples do sistema. O limite inferior é obtido se todos os sistemas R, S, ..., U vão para espaços de criptogramas completamente diferentes. Este teorema também é provado pelas desigualdades gerais que governam a equivocação,

HA(B) < H(B) < H(A) + HA(B)

Identificamos A com um determinado sistema que esteja sendo usado e B com a chave ou a mensagem.

Existe um teorema semelhante para as somas ponderadas de linguagens. Neste, identificamos A com um determinado idioma.

TEOREMA 10

A redundância total D_N para N letras da mensagem é definida por

DN = log G - H(M)

onde G é o número total de mensagens de comprimento N e H(M) é a incerteza de escolher uma delas. Em sistemas de secretismo onde o número total de criptogramas possíveis é igual ao número de mensagens possíveis de comprimento N, H(E) < log G. Consequentemente,

HE(K) < H(K) + H(M) - H(E)
      > H(K) - [ log G - H(M)]

portanto

H(K) - HE(K) < DN

Isto mostra que, em sistemas fechados, por exemplo, a diminuição da equivocação da chave depois de N letras foi interceptada e não é maior do que a redundância de N letras do idioma. Nestes sistemas, que compreendem a maior parte das cifras, é apenas a existência da redundância nas mensagens originais que possibilita uma solução.

Suponha agora que temos um sistema puro. Deixe que classes diferentes de resíduos de mensagens sejam C₁, C₂, C₃, ..., C_r e que o conjunto correspondente de classes de resíduos de criptogramas seja C'₁, C'₂, C'₃, ..., C'_r. A probablidade de cada E em C₁ é a mesma:

P(E) = P(Ci) / φi    onde E é um membro de Ci

onde φ_i é o número de diferentes mensagens em C_i. Portanto, temos

H(E) = - Σi φi ( P(Ci) / φi ) log ( P(Ci) / φi )

H(E) = - Σi P(Ci) log ( P(Ci) / φi )

Substituindo na nossa equação H_E(K) obtemos:

TEOREMA 11

Este resultado pode ser usado para calcular H_E(K) em certos casos de interesse.

Tradução vovó Vicki